相邻的两个自然数(0除外)一定是互质数

若设A,B是两个自然数（0除外）。由施瓦茨定理可知，A和B互质当且仅当gcd(A, B) = 1;
又由伽利略定理可知，任何两个自然数a,b其欧几里得最大公约数d对a,b有着定义（即 a = p*d, b = q*d ），其中p,q均为正整数，若让a=A, b=A+1，则p=q=1，且不存在整数d使得a = p*d, b = q*d，再得a,b互质等价于gcd(A, A+1) = 1，也即A,B相邻的两个个自然数（0除外）一定是互质数。
其实也可由一些概率平均性质到给出这结论，对于任意正整数n，其与n+1的公约数的概率分布是均匀的，有多少个素数即为多少概率相等，而任意两自然数必有一个为素数，所以当n=m+1时，有一半的概率 m,m+1互质，即m,m+1相邻的两个自然数一定是互质数。
因此，无论是从数论角度，还是从概率平均性质上来看，A,B相邻的两个自然数（0除外）一定是互质数这一结论都是正确的。